Из опыта работы  (математика)

 

МАТЕМАТИКА – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира; греческое слово (математикэ) происходит от греческого же слова (матема), означающего «знание», «наука».

Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Её содержание и характер изменялись на протяжении всей истории и продолжают изменяться теперь. От первичных предметных представлений о целом положительном числе, а также от представления об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками математика прошла длительный путь развития, прежде чем стала абстрактной наукой со специфическими методами исследования.

Современное понимание пространственных форм весьма широко. Оно включает в себя наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, цилиндр, шар и пр.) также многочисленные обобщения – понятия многомерного и бесконечномерного пространства, а также геометрических объектов  в них и многое другое. Точно так же количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и при помощи комплексных чисел, векторов, функций и пр. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях.

Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 2 не связано неразрывно с каким-либо определенным предметным содержанием. Оно может относиться и к двум яблокам, и к двум книгам, и к двум мыслям. Оно одинаково  хорошо относится ко всем этим и бесчисленному множеству других объектов. Точно также геометрические свойства шара не меняются оттого, что он сделан из стекла, стали или стеарина. Конечно, абстрагирования от свойств предмета обедняет наши знания о данном предмете, о его характерных материальных особенностях. В тоже время именно это отвлечение от особых свойств индивидуальных объектов придаёт общность понятиям, делает возможным применение математики к самым разнообразным по материальной природе явлениям. Таким образом, одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технического, а так же экономического и социальных процессов.

Абстрактность понятий не является исключительной особенностью математики; любые научные и общие понятия носят в себе элемент отвлечения от свойств конкретных вещей. Но в математике процесс абстрагирования идет дальше, чем в естественных науках; в математике широко используется процесс построения абстракции разных ступеней. Так, понятие группы возникло путем отвлечения от некоторых свойств совокупности чисел и других абстрактных понятий. Для математики является характерным так же способ получения её результатов. Если естествоиспытатель для доказательства своих положений постоянно прибегает к опыту, то математик доказывает свои результаты только посредством логических рассуждений. В математике не один результат не может считаться доказанным, пока ему не надо логическое доказательство, и это даже в том случае, если специальные эксперименты давали подтверждение этого результата. В то же время истинность математических теорий так же проходит проверку практикой, но это проверка носит особый характер: основные понятия математики образуются в результате длительной кристаллизации их из частных запросов практики; сами правила логики выработались лишь после тысячелетий  наблюдений за течением процессов в природе; формулировки теорем и постановке задач математики так же возникают из запросов практики. Математика возникла из практических нужд, и её связи с практикой со временем становились всё более и более многообразными и глубокими.

В принципе математика может быть применена к изучению любого типа движения, самых разнообразных явлений. В действительности же её роль в различных областях научной и практической деятельности не одинакова. Особенно велика роль математики в развитии современной физики, химии, многих областей техники, вообще при изучении тех явлений, где даже значительная отвлечение от специфически качественных их особенностей позволяет достаточно точно уловить количественные и пространственные закономерности, свойственные им. Для примера- математическое изучение движение небесных тел, основанная на значительных отвлечениях от их реальных особенностей (тела, например, считается материальными точками), приводила и приводит к прекрасному совпадению с реальным их движением. На этой базе удается не только заблаговременно предвычислять небесные явления (затмения, положения планет и др.), но и по отклонениям истинных движений от вычисленных предсказывать существование планет, не наблюдавшихся ранее (таким путем были открыты Плутон в 1930, Нептун в 1846). Меньшее, но все же значительное место занимает математика в таких науках, как экономика, биология, медицина. Качественное своеобразие явлений, изучаемых в этих науках, настолько велико и так сильно влияет на характер их течения, что математический анализ пока может играть лишь подчиненную роль. Особое же значение для социальных и биологических наук приобретает математическая статистика. Сама математика так же развивается под влиянием требований естествознания, техники, экономики. Да же за последние годы образовался ряд математических дисциплин, возникших на базе запросов практики: информации теория, игр теория и др.

Понятно, что переход от одной ступени познания явлений к следующей, более точной, предъявляет к математике новые требования и приводит к созданию новых понятий, новых методов исследования. Так, требования астрономии, переходивший от чисто описательного знания к точному, привели к выработке основных понятий тригонометрии: во 2 веке до н.э. древнегреческий ученый Гиппарх составил таблицы хорд, соответствующие современным таблицам синусов; древнегреческие ученые в 1 веке Менелай и во 2 веке Клавдий Птолемей создали основы  сферической тригонометрии. Повышенный интерес к изучению движения вызванный к жизни развития мануфактурного производства, мореплавания, артиллерии и др., привёл в 17 веке к созданию понятий математического анализа, развитию новой математики. Широкое внедрение математических методов в изучении явлений природы (прежде всего астрономических и физических) и развитии техники (в особенности машиностроения) привели в 18 и 19 веках к бурному развитию теоретической механики и теории дифференциальных уравнений. Развитие идей молекулярного строения материи вызвало стремительное развитие вероятностей теории. В настоящее время мы можем прослеживать на множестве примеров появление новых направлений математических исследований. Особенно значительными нужно признать успехи вычислительной математики и вычислительной техники и производимой ими преобразования многих разделов математики.

  Исторический очерк. В истории математики можно наметить четыре периода с существенно качественными отличиями. Эти периоды трудно точно разделить, так как каждый последующий развивался внутри предыдущего и поэтому имелись довольно значительные переходные этапы, когда новые идеи только зарождались и не стали ещё руководящими ни в самой математике, ни в её приложениях.

1)       Период зарождения математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до 6-5 веков до н. э.

2)        Период элементарной математики, математики постоянных величин; он продолжался приблизительно до конца 17 века, когда довольно далеко зашло развитие новой, «высшей», математики.

3)       Период математики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии.

4)       Период современной математики; характерен сознательным и систематическим изучением возможных типов количественных отношений и пространственных форм. В геометрии изучаются не только реальное трёхмерное пространство, но и сходные  с ним пространственные формы. В математическом анализе рассматриваются переменные величины, зависящие не только от числового аргумента, но и от некоторой линии (функции), что приводит к понятиям функционала и оператора. Алгебра превратилась в теорию алгебраических операций над элементами произвольной природы. Лишь бы над ними можно было производить эти операции. Начало этого периода естественно отнести к 1-й половине 19 века.

В Древнем мире математические сведения входили первоначально в виде неотъемлемой составной части в познания жрецов и государственных чиновников. Запас этих сведений, как об этом можно судить по уже расшифрованным глиняным вавилонским табличкам и египетским математическим папирусам, был сравнительно велик. Имеются данные, что за тысячу лет до древнегреческого учёного Пифагора в Двуречье не только была известна теория Пифагора, но и была разрешена задача о разыскании всех прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Однако подавляющая часть документов того времени представляет собой сборники правил для производства простейших арифметических действий, а также для вычисления площадей фигур и объёмов тел. Сохранились также таблицы разного рода для облегчения этих расчётов. Во всех руководствах правила не формулируются, а поясняются на частых примерах. Превращение математики в формализованную науку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции. Там же математическое творчество перестало быть безымянным. Практическая арифметика и геометрия в Древней Греции имели высокий уровень развития. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского (конец 7 века до н.э. -начало 6 века до н.э.) вывезшего первичные знания из Египта. В школе Пифагора Самосского (6 век до н.э.) изучалась делимость чисел, были просуммированы простейшие прогрессии, изучались совершенные числа, введены в рассмотрение различные типы средних (среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое), вновь найдены пифагоровы числа ( тройки целых чисел, могущих быть сторонами прямоугольного треугольника). В 5-6 веках до н.э. возникли знаменитые задачи древности -квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 века до н.э.). К этому же времени относится значительный успех платоновской школы, связанный с попытками рационального объяснения строения матери  и Вселенной, -разыскание всех правильных многогранников. На границе 5 и 4 веков до н.э. Демокрит, исходя из атомистических представлений, предложил метод определения объёмов тел. Этот метод можно считать прообразам метода бесконечно малых. В 4 веке до н.э. Евдоксом Книдским была разработана теория пропорций. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается 3 век до н.э. (1 век так называемой Александрийской эпохи). В 3 веке до н.э. работали такие математики, как Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский, Эратосфен; позднее – Герон (1 век н.э.) Диофант (3 век). В своих «Началах» Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения в области геометрии; вместе с тем он заложил основы теории чисел. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов. Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах. С конца 3 века начался упадок греческой математики.

   Значительного развития достигла математика в древних Китае и Индии. Китайским математикам свойственны высокая техника производства вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Во 2-1 веках до н.э. была написана «Математики в девяти книгах». В ней имеются те самые приёмы извлечения квадратного корня, которые излагаются и в современной школе: методы решения систем линейных алгебраических уравнений, арифметическая формулировка теоремы Пифагора.

       Индийской математике, расцвет которой относится к 5-12 векам, принадлежит заслуга употребления современной десятичной нумерации, а также нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, и заслуга значительно более широкого, чем у Диофанта, развития алгебры, оперирующей не только с положительными рациональными числами, но также с отрицательными и иррациональными числами.

      Арабские завоевания привели к тому, что от Средней Азии до Пиренейского полуострова учёные в течение 9-15 веков пользовались арабским языком. В 9 веке среднеазиатский учёный аль- Хорезми впервые  изложил алгебру как самостоятельную науку. В этот период многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку. Сириец аль- Баттани ввёл в рассмотрение тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс.  Самаркандский учёный аль- Каши (15 век) ввел в рассмотрение десятичные дроби и дал систематическое изложение, сформулировал формулу бинома Ньютона.

         Существенно новый период в развитии математики начался в 17 веке, когда в математику ясно вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функций, производной и интеграла Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление, к возникновению новой математической дисциплины – математического анализа.

        С конца 18 века – начала 19 века в развитии математики наблюдается ряд существенно новых черт. Наиболее характерной из них был интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики. На смену туманным представлениям о бесконечно малых пришли точные формулировки, связанные с понятием предела.

       В алгебре в 19 веке был выяснен вопрос о возможности решения алгебраических уравнений в радикалах (норвежский ученый Н.Абель, французский ученый Э.Галуа).

        В 19-20 веках численные методы математики вырастают в самостоятельную ветвь - вычислительную математику. Важные приложения к новой вычислительной технике нашла развивавшаяся в 19-20 веках ветвь математики- математическая логика.     

 

                Материал подготовлен Лещенко О.В., учителем математики.

 

456840  Челябинская область Каслинский район с.Тюбук ул.Труда, 1 МОУ "Тюбукская СОШ№3" tubuk_sosch@mail.ru